正定二次型是线性代数中的一个概念，指的是一个二次型在任意非零向量上的值都大于零。具体来说，设 ( f(x) = xT A x ) 是一个二次型，其中 ( x ) 是一个 ( n ) 维列向量，( A ) 是一个 ( n times n ) 的实对称矩阵。如果对于任意非零向量 ( x )，都有 ( f(x) > 0 )，那么这个二次型就称为正定二次型。
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正定二次型的几个重要性质包括：
1. 对称性：正定矩阵 ( A ) 必须是对称的，即 ( AT = A )。
2. 正定性：对于任意非零向量 ( x )，都有 ( xT A x > 0 )。
3. 特征值：正定矩阵的所有特征值都是正的。
4. 逆矩阵：正定矩阵是可逆的，并且其逆矩阵也是正定的。
正定二次型在数学、物理学、工程学等领域都有广泛的应用，尤其是在优化问题和稳定性分析中。例如，在结构工程中，正定二次型可以用来描述结构的稳定性。在经济学中，正定二次型可以用来分析投资组合的风险和收益。
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