有界的数列不一定收敛，这是因为收敛性不仅要求数列有界，还要求数列的项随着项数的增加而趋向于某个确定的值。以下是一些解释：
1. 有界性：一个数列有界意味着存在某个实数M，使得数列中所有项的绝对值都不超过M。这可以形象地理解为数列的项被限制在一个“盒子”里。
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2. 收敛性：一个数列收敛意味着随着项数的增加，数列的项会无限接近某个特定的值。这个值被称为数列的极限。
3. 反例：考虑数列 (a_n = (-1)n)，这是一个有界数列，因为它的项要么是1，要么是-1，它们的绝对值都不超过1。然而，这个数列并不收敛，因为它的项在1和-1之间不断交替，没有趋向于某个固定的值。
具体来说，对于上述数列 (a_n = (-1)n)：
有界性：数列的项始终在-1和1之间，因此它是有界的。
非收敛性：随着n的增加，数列的项在1和-1之间交替，没有趋向于某个固定的值。因此，这个数列不收敛。
总结来说，有界性只是收敛性的一个必要条件，但不是充分条件。一个有界的数列可能收敛，也可能不收敛。只有当数列的项随着项数的增加而趋向于某个确定的值时，数列才是收敛的。
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