矩阵对角化是线性代数中的一个重要概念，它指的是将一个矩阵转换为一个对角矩阵，这个对角矩阵的对角线元素是原矩阵的特征值。在这个过程中，通常需要三个线性无关的特征向量来实现完全对角化，原因如下：
1. 矩阵的秩：对于一个n×n的矩阵，其秩（即最大线性无关行或列的数目）最多为n。这意味着，一个n×n的矩阵最多有n个线性无关的特征向量。
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2. 特征向量的线性无关性：对角化要求找到一个基，这个基由原矩阵的特征向量组成。如果基中的向量不是线性无关的，那么它们就不能构成一个完整的基，也就不能完全对角化矩阵。
3. 特征值的几何重数：一个特征值的几何重数是其对应的特征空间的维数，即对应特征向量可以构成的线性无关向量的最大数目。如果一个特征值的几何重数小于其代数重数（特征值在特征多项式中的重数），那么这个矩阵不能被对角化。
4. 三个特征向量的原因：对于大多数n×n的矩阵，它们通常具有三个线性无关的特征向量。这是因为大多数矩阵至少有一个特征值是重根，即其代数重数大于1。在这种情况下，至少需要两个线性无关的特征向量来对应这个重根。再加上另一个对应不同特征值的线性无关特征向量，总共三个，就可以实现对角化。
对于大多数n×n的矩阵，三个线性无关的特征向量是足够实现对角化的，因为这是满足上述所有条件的最低要求。
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