幂函数在其定义域内不一定一定可导。幂函数的一般形式是 ( f(x) = xn ),其中 ( n ) 是一个实数。
1. 当 ( n ) 是正整数时,幂函数在其定义域内(即 ( x > 0 ))是可导的。
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2. 当 ( n ) 是负整数时,幂函数在其定义域内(即 ( x > 0 ))也是可导的,但是其导数在 ( x = 0 ) 处是未定义的。
3. 当 ( n ) 是非整数(即分数或无理数)时,情况就复杂了。如果 ( n ) 是有理数,那么当 ( x ) 在 ( 0 ) 的左侧和右侧的极限存在且相等时,幂函数在 ( x = 0 ) 处是可导的。例如,( f(x) = x{1/3
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