在数学分析中,区分左右极限主要基于以下两点:
1. 定义域的扩展:
左极限:是指当自变量 ( x ) 趋近于某个值 ( a ) 时,从 ( a ) 的左侧(即 ( x < a ))趋近 ( a ) 的过程中,函数 ( f(x) ) 的极限值。
右极限:是指当自变量 ( x ) 趋近于某个值 ( a ) 时,从 ( a ) 的右侧(即 ( x > a ))趋近 ( a ) 的过程中,函数 ( f(x) ) 的极限值。
2. 极限值的比较:
如果左极限和右极限都存在且相等,那么函数 ( f(x) ) 在 ( x = a ) 处的极限存在,并且等于这个共同的极限值。
如果左极限和右极限存在但不相等,那么函数 ( f(x) ) 在 ( x = a ) 处的极限不存在。
具体步骤如下:
1. 确定 ( a ) 的位置:首先确定要考察的点是 ( a ),这个点可能是函数的定义域内的点,也可能是定义域外的点。
2. 考虑自变量的趋近方向:
对于左极限,考虑 ( x ) 从 ( a ) 的左侧趋近 ( a )。
对于右极限,考虑 ( x ) 从 ( a ) 的右侧趋近 ( a )。
3. 计算极限:
对于左极限,记作 ( lim_{x to a-
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