为什么n阶可逆矩阵可以经过初等行变换变成单位矩阵

n阶可逆矩阵可以经过初等行变换变成单位矩阵的原因在于初等行变换的线性性质和可逆矩阵的定义。

我们来定义什么是初等行变换。初等行变换是指对矩阵的行进行的以下三种操作之一：

1. 交换两行；

2. 将一行乘以一个非零常数；

3. 将一行加上另一行的倍数。

这些变换都是可逆的，即每一种变换都有一个逆变换，使得变换后的矩阵能够恢复到原始矩阵。

接下来，我们来看可逆矩阵的定义。一个n阶矩阵A是可逆的，如果存在一个n阶矩阵B，使得它们的乘积AB=BA=单位矩阵E。单位矩阵E是一个对角线元素为1，其余元素为0的n阶矩阵。

现在，我们来说明为什么n阶可逆矩阵可以经过初等行变换变成单位矩阵：

1. 初等行变换的线性性质：初等行变换是线性变换，这意味着它们保持矩阵的秩不变。对于可逆矩阵，其秩为n，即它有n个线性无关的行或列。

2. 单位矩阵的秩：单位矩阵E的秩也是n，因为它有n个线性无关的行或列（每个对角线元素为1，其余为0）。

3. 初等行变换的连续性：通过一系列的初等行变换，我们可以将矩阵A的每一行变换为单位矩阵E对应行的一个倍数。例如，如果矩阵A的第一行是(1, 2, 3)，我们可以通过一系列的行变换将其变为(1, 0, 0)。同理，我们可以将A的其余行变换为单位矩阵E的对应行。

4. 逆变换的保证：由于初等行变换是可逆的，我们可以保证每一步变换都有对应的逆变换，这样我们就可以将矩阵A逐步变换为单位矩阵E。

综上所述，由于初等行变换的线性性质、单位矩阵的秩与可逆矩阵的秩相同，以及初等行变换的可逆性，我们可以通过一系列的初等行变换将n阶可逆矩阵A变换为单位矩阵E。

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