导数与极限

导数和极限是微积分学中的两个基本概念,它们在数学、物理学、工程学等多个领域都有广泛的应用。

导数与极限

极限

极限是数学分析中的一个基本概念,它描述了当自变量接近某个值时,函数值如何接近某个特定的值。形式上,如果对于任意小的正数ε,总存在一个足够小的正数δ,使得当0 < x a < δ时,有f(x) L < ε,那么就称当x趋向于a时,函数f(x)的极限是L。

例子:

求函数f(x) = x2在x趋向于2时的极限。

解:我们希望找到L,使得对于任意ε > 0,存在δ > 0,使得当0 < x 2 < δ时,有x2 4 < ε。

令x 2 < 1,那么1 < x < 3,因此x2 < 9,即x2 4 = x2 4 < 5。

所以,如果我们取δ = min{1, ε/5

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