为什么只有方阵才有行列式

行列式（Determinant）是一个数学概念，它最初是在方阵（即行数和列数相等的矩阵）中定义的。以下是几个原因说明为什么行列式最初只在方阵中定义：

1. 历史原因：行列式的概念最早由17世纪的数学家卡丹（Cardano）引入，他研究的是解三次方程的问题。当时，卡丹使用了一种类似于行列式的表格来计算多项式的根。由于他处理的是三次方程，所以自然地使用了3x3的方阵。

2. 代数性质：行列式具有一些重要的代数性质，如行列式的乘积性质、行列式的转置性质等，这些性质在方阵中比较容易定义和证明。对于非方阵，这些性质可能不再成立。

3. 几何意义：行列式在几何上可以解释为线性变换的体积比。对于方阵，行列式可以表示由该矩阵定义的线性变换将单位立方体变换后的体积。对于非方阵，这种几何解释变得复杂，因为线性变换可能不会将单位立方体映射到另一个立方体。

4. 计算复杂性：对于非方阵，行列式的计算变得更加复杂。对于n×m的矩阵，其行列式需要计算n!×m!个元素，这可能导致计算量非常大。

尽管行列式最初只在方阵中定义，但后来数学家们扩展了行列式的概念，使其可以应用于非方阵。这种扩展称为“伪行列式”（Pseudoinverse）或“广义行列式”（Generalized Determinant）。然而，这些扩展通常不如方阵中的行列式具有那么丰富的代数和几何性质。

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