为什么单调函数必有左右极限

单调函数必有左右极限的原因可以从函数的连续性和极限的定义来解释。

我们来看单调函数的定义。单调函数是指在其定义域内，对于任意的两个点 ( x_1 ) 和 ( x_2 )，如果 ( x_1 < x_2 )，则函数值 ( f(x_1) ) 和 ( f(x_2) ) 的关系要么是 ( f(x_1) leq f(x_2) )（单调递增），要么是 ( f(x_1) geq f(x_2) )（单调递减）。

现在，我们来证明单调函数必有左右极限。

1. 连续性和极限的关系：如果一个函数在某一点连续，那么该点的左极限和右极限都存在且相等，并且等于该点的函数值。

2. 单调函数的连续性：单调函数在其定义域内是连续的。这是因为单调函数在任意区间内不会有跳跃，也就是说，函数值不会突然增加或减少，因此满足连续性的定义。

3. 极限的存在性：由于单调函数在其定义域内是连续的，那么对于任意一点 ( x )，函数 ( f(x) ) 在 ( x ) 点的左极限和右极限都存在，并且等于 ( f(x) ) 的值。

4. 极限的相等性：对于单调函数，由于函数值的单调性，当 ( x ) 从左侧趋近于 ( x ) 时，函数值 ( f(x) ) 的极限值不会小于 ( f(x) )；当 ( x ) 从右侧趋近于 ( x ) 时，函数值 ( f(x) ) 的极限值不会大于 ( f(x) )。因此，左右极限相等。

综上所述，单调函数必有左右极限，因为它们在其定义域内是连续的，而连续函数在任意点的左右极限都存在且相等。

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