函数拐点和驻点怎么求

函数的拐点和驻点是函数图像上重要的特征点，它们分别表示函数凹凸性变化和函数的停止点。

驻点（Zero Points）

驻点是函数的导数为零的点，即函数的切线与x轴平行。

求法：

1. 求导数：对函数 ( f(x) ) 求一阶导数 ( f'(x) )。

2. 求导数为零的点：解方程 ( f'(x) = 0 )，得到驻点的x坐标。

3. 求y坐标：将驻点的x坐标代入原函数 ( f(x) )，得到对应的y坐标。

示例：

假设函数 ( f(x) = x3 3x2 + 4 )，求驻点。

1. 求导数：( f'(x) = 3x2 6x )。

2. 解方程 ( f'(x) = 0 )：( 3x2 6x = 0 )，得到 ( x = 0 ) 或 ( x = 2 )。

3. 求y坐标：( f(0) = 4 )，( f(2) = 4 )。

所以，驻点为 ( (0, 4) ) 和 ( (2, 4) )。

拐点（Inflection Points）

拐点是函数凹凸性发生变化的点，即函数的二阶导数符号发生变化的点。

求法：

1. 求二阶导数：对函数 ( f(x) ) 求二阶导数 ( f''(x) )。

2. 求二阶导数为零的点：解方程 ( f''(x) = 0 )，得到可能的拐点的x坐标。

3. 验证拐点：将可能的拐点的x坐标代入原函数 ( f(x) )，得到对应的y坐标。然后，检查二阶导数在该点的左右两侧的符号是否发生变化。如果符号发生变化，则该点为拐点。

示例：

假设函数 ( f(x) = x4 6x3 + 9x2 )，求拐点。

1. 求二阶导数：( f''(x) = 12x2 36x + 18 )。

2. 解方程 ( f''(x) = 0 )：( 12x2 36x + 18 = 0 )，得到 ( x = 1 ) 或 ( x = 1.5 )。

3. 验证拐点：( f(1) = 4 )，( f(1.5) = 4.375 )。检查二阶导数在 ( x = 1 ) 和 ( x = 1.5 ) 的左右两侧的符号，发现符号发生变化。

所以，拐点为 ( (1, 4) ) 和 ( (1.5, 4.375) )。

注意：以上方法适用于一元函数。对于多元函数，拐点和驻点的求解方法更为复杂，需要使用偏导数等概念。

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