极限存在的数列一定是收敛数列，这是因为数列收敛的定义就是数列的项随着项数的增加无限接近某个确定的数，即极限值。如果数列的极限存在，那么数列的项会越来越接近这个极限值，从而数列的值会趋向于稳定，不会无限发散。因此，极限存在的数列必然是收敛的。
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关于收敛数列一定有界的问题，这可以通过反证法来理解。假设一个收敛数列是无界的，那么根据无界数列的定义，对于任何正数M，都存在数列中的某个项，其绝对值大于M。然而，由于数列是收敛的，根据收敛数列的定义，数列的项会越来越接近其极限值，这意味着存在一个正数N，使得当n > N时，数列中所有项的绝对值都小于某个固定的数ε（ε是一个很小的正数，可以任意接近0）。这与假设的无界性矛盾，因为无论M取多大，总能找到n > N使得数列的第n项的绝对值大于M。
因此，收敛数列必须是有界的。这意味着数列的项不会无限增大或减小，而是会逐渐接近某个确定的值，即极限值。这是收敛数列的一个基本性质。
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