向量红线定理（Reduction Theorem）通常指的是在群论中，特别是对于有限群的情况，一个重要的定理。这个定理说明了对于有限群G和它的子群H，存在一个向量空间V，使得G可以作用在V上，并且H是V的子空间。下面是向量红线定理的一个简化的证明：
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定理（向量红线定理）：设G是一个有限群，H是G的子群。那么存在一个向量空间V，使得G可以作用在V上，并且H是V的子空间。
证明：
1. 构造向量空间V：我们首先构造一个向量空间V，其维数等于G/H的阶数。这里G/H表示G除以H的商群。因为G是有限群，所以G/H也是有限群，其阶数可以表示为G/H = G/H。
我们可以选择一个基向量组，使得这个基向量组的元素可以表示为G/H中的所有元素。例如，如果G/H = 3，我们可以选择三个基向量 ( e_1, e_2, e_3 )，它们分别对应于G/H中的三个元素。
2. 定义G在V上的作用：现在我们需要定义G在V上的作用。对于G中的任意元素g，我们需要定义一个映射 ( g cdot v ) 对于V中的任意向量v。根据G在G/H上的作用，我们可以定义：
( g cdot v = begin{cases
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