自由膨胀率和膨胀率是材料科学和工程学中常用的两个概念，它们描述了材料在受到温度变化时体积变化的不同方面。
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1. 膨胀率：
膨胀率是一个通用的概念，它指的是材料在温度变化后体积变化与原体积的比值。
数学上，膨胀率（α）通常表示为：
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alpha = frac{Delta V
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