证明一个函数是否有界，通常需要证明该函数在某个区间内的值被某个常数所限制。以下是一些常见的证明方法：
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1. 有界性定义法：
对于函数 ( f(x) )，如果存在常数 ( M ) 和 ( R )，使得对于所有 ( x ) 满足 ( x leq R ) 的 ( x )，都有 ( f(x) leq M )，则称函数 ( f(x) ) 在区间 ( [-R, R] ) 上有界。
证明时，需要找到这样的 ( M ) 和 ( R )，使得上述条件成立。
2. 反证法：
假设函数 ( f(x) ) 在某个区间内无界，即对于任意大的常数 ( M )，总存在 ( x ) 使得 ( f(x) > M )。
通过逻辑推理和反证，证明这个假设会导致矛盾，从而得出函数是有界的。
3. 利用极限和连续性：
如果函数 ( f(x) ) 在某个区间内连续，并且其极限存在，那么该函数在该区间内一定有界。
例如，如果 ( lim_{x to infty
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