在数学中，通过笔算得到的积通常是指通过手工计算方法得到的乘法结果。以下是一些常见的笔算方法得到的积：
1. 竖式乘法：这是最常见的一种笔算方法，适用于多位数乘法。例如，计算123乘以456。
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2. 分配律：这种方法利用了乘法的分配律，将一个乘数拆分成几个部分，然后分别与另一个乘数相乘，最后将结果相加。例如，计算(10 + 2)乘以3。
3. 分配律的扩展：这种方法可以用来计算更复杂的表达式，例如(10 + 2)乘以(3 + 4)。
4. 分步乘法：这种方法将乘数和被乘数分别拆分成几个部分，然后逐步相乘，最后将结果相加。例如，计算123乘以456。
5. 分配律和结合律：这种方法结合了分配律和结合律，将乘法分解成更简单的步骤。例如，计算(10 + 20)乘以(3 + 4)。
6. 长乘法：这种方法用于多位数乘法，通过逐位相乘，然后相加得到最终结果。
7. 分配律和交换律：这种方法利用了分配律和交换律，将乘法分解成更简单的步骤。例如，计算(10 + 2)乘以(3 + 4)。
这些方法都是通过笔算得到的积，它们在数学教育中扮演着重要角色，帮助我们更好地理解和掌握乘法运算。
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