[考研 线性代数]特征值的和等于矩阵主对角线上元素之和怎么证明...
这个就是矩阵迹的定义 设有N阶矩阵A,那么矩阵的迹(用tr(A)表示)就等于A的特征值的总和,也即A矩阵的主对角线元素的总和。
由于上述两个表达式均为特征多项式的n-1次项系数,因此它们的值相等。由此得出结论,a11+a22+...+ann=λ1+λ2+...+λn。这个证明展示了矩阵主对角线上元素之和与特征值之和之间的关系,为我们理解矩阵和特征值提供了深刻的见解。
上三角矩阵的迹即是其对角线元素之和,从而我们得出结论,A的迹也等于其特征值之和。然而,证明这一结论的过程颇为复杂。涉及到线性代数中的核心概念,如特征值、特征向量、相似矩阵和矩阵变换等。为了证明A的迹等于其特征值之和,需要理解矩阵的特征分解,以及相似矩阵之间的关系。
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