等比数列级数敛散性判别方法_用比较审敛法判断级数敛散性

写出下列级数的通项,并判断下列级数的敛散性

1、该级数的敛散性取决于其具体形式，但基于提供的参考信息和常见技巧，可以判断类似 $sum_{n=1}^{infty}sinleftleft^n$ 的级数是收敛的。以下是判断过程：利用等价无穷小：当 $x$ 足够小，有 $sin x approx x$。因此，当 $n$ 较大时，$sinleft$ 可以近似为 $frac{x}{3^n}$。

2、第1：判断通项。因此当n充分大的时候，通项相当于几何级数，所以收敛。当然书写的过程如果要严谨一点，可以采用根式审敛法或者比值审敛法。第一种理解方式：根据p-级数的收敛特点，级数收敛。第二中理解方式：请加分追问。根式审敛法：因此级数收敛。判断通项：因为通项不趋于0，所以级数发散。

3、对于给出的两个级数，其敛散性判断如下：第一题：使用比值审敛法进行判断。通过计算相邻两项比值的极限，发现该极限小于1。根据比值审敛法的原理，当相邻两项比值的极限小于1时，级数绝对收敛。因此，第一题中的级数是绝对收敛的。第二题：使用比较审敛法与$frac{1}{n}$进行比较。

4、用根值法 Un=[n/(2n+3)]^n lim n→∞ Un^(1/n)=lim n/(2n+3)=lim 1/(2+ 3/n)=1/2＜1 所以该级数收敛。

用比较审敛法判断级数敛散性

1、通过比较审敛法，我们知道级数 1/n^{1/2} 发散。这是因为 1/n^{1/2} 1/n 对于所有自然数 n 成立，而级数 ∑1/n 是著名的调和级数，我们知道它是发散的。因此，根据比较审敛法，级数 ∑1/[2n^{1/2}] 也发散。进一步地，考虑级数 ∑[1/(n^{1/2} + n^{1/3})]。

2、(3)题，设un=1/√(3n+n)，vn=1/√(3n)。∴lim(n→∞)un/vn=1。∴级数∑un与级数∑vn有相同的敛散性。而，∑vn=(1/√3)∑1/n，是调和级数，发散。∴原级数发散。(4)题，设un=1/√(4n-3)，vn=1/√(4n)。∴lim(n→∞)un/vn=1。

3、Un=(2n-1)/2^n Un+1=(2n+1)/2^(n+1)比值法 lim n→∞ Un+1/Un =lim (2n+1)/2^(n+1)/(2n-1)/2^n =lim (2n+1)/2(2n-1)=lim (2 +1/n)/2(2 -1/n)=2/4 =1/2＜1 所以该级数收敛。

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