高等数学精讲：如何计算点在平面上的投影
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在高等数学中，点的投影是一个基础且重要的概念，尤其在解析几何和三维空间分析中频繁出现。以下是一些关于如何计算点在平面上的投影的常见问题及其解答。
如何计算点在平面上的投影？
要计算点P在平面α上的投影，首先需要确定平面α的方程。假设平面α的方程为Ax + By + Cz + D = 0，点P的坐标为(x0, y0, z0)。
步骤一：求法向量
1. 计算法向量n，它垂直于平面α。法向量n可以通过平面方程的系数直接得到，即n = (A, B, C)。
步骤二：求投影方向向量
2. 计算从点P到原点O的向量OP，即OP = (x0, y0, z0)。
3. 计算投影方向向量t，它是向量OP在法向量n上的投影。t = (OP · n) / (n · n) n。
步骤三：求投影点坐标
4. 计算投影点P'的坐标。由于P'在OP上，且OP' = t，因此P'的坐标为P' = (x0, y0, z0) t。
实例解析
假设平面α的方程为x + 2y 3z + 6 = 0，点P的坐标为(2, 3, 4)。
步骤一：求法向量
法向量n = (1, 2, -3)。
步骤二：求投影方向向量
向量OP = (2, 3, 4)，n · n = 12 + 22 + (-3)2 = 14。
t = (21 + 32 34) / 14 (1, 2, -3) = (-4) / 14 (1, 2, -3) = (-2/7, 6/7, 6/7)。
步骤三：求投影点坐标
P' = (2, 3, 4) (-2/7, 6/7, 6/7) = (2 + 2/7, 3 6/7, 4 6/7) = (16/7, 15/7, 22/7)。
因此，点P在平面α上的投影点P'的坐标为(16/7, 15/7, 22/7)。
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