高等数学中,点在一个平面上的投影怎么算

高等数学精讲:如何计算点在平面上的投影

高等数学中,点在一个平面上的投影怎么算

在高等数学中,点的投影是一个基础且重要的概念,尤其在解析几何和三维空间分析中频繁出现。以下是一些关于如何计算点在平面上的投影的常见问题及其解答。

如何计算点在平面上的投影?

要计算点P在平面α上的投影,首先需要确定平面α的方程。假设平面α的方程为Ax + By + Cz + D = 0,点P的坐标为(x0, y0, z0)。

步骤一:求法向量

1. 计算法向量n,它垂直于平面α。法向量n可以通过平面方程的系数直接得到,即n = (A, B, C)。

步骤二:求投影方向向量

2. 计算从点P到原点O的向量OP,即OP = (x0, y0, z0)。

3. 计算投影方向向量t,它是向量OP在法向量n上的投影。t = (OP · n) / (n · n) n。

步骤三:求投影点坐标

4. 计算投影点P'的坐标。由于P'在OP上,且OP' = t,因此P'的坐标为P' = (x0, y0, z0) t。

实例解析

假设平面α的方程为x + 2y 3z + 6 = 0,点P的坐标为(2, 3, 4)。

步骤一:求法向量

法向量n = (1, 2, -3)。

步骤二:求投影方向向量

向量OP = (2, 3, 4),n · n = 12 + 22 + (-3)2 = 14。

t = (21 + 32 34) / 14 (1, 2, -3) = (-4) / 14 (1, 2, -3) = (-2/7, 6/7, 6/7)。

步骤三:求投影点坐标

P' = (2, 3, 4) (-2/7, 6/7, 6/7) = (2 + 2/7, 3 6/7, 4 6/7) = (16/7, 15/7, 22/7)。

因此,点P在平面α上的投影点P'的坐标为(16/7, 15/7, 22/7)。

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