组合公式计算入门：如何快速求解组合问题

在数学和概率论中，组合公式是一种用于计算不同元素组合数量的方法。组合问题在日常生活、科学研究以及工程实践中都非常常见。以下我们将通过组合公式来解答几个常见的问题，帮助您更好地理解和应用这一数学工具。

问题一：如何计算从5个不同的水果中选择3个的组合数？

要计算从5个不同的水果中选择3个的组合数，我们可以使用组合公式 C(n, k) = n! / [k! (n k)!]，其中 n 是总数，k 是选择的数量，! 表示阶乘。在这个例子中，n = 5，k = 3。所以，组合数为：

C(5, 3) = 5! / [3! (5 3)!] = (5 × 4 × 3 × 2 × 1) / [(3 × 2 × 1) (2 × 1)] = 10

因此，从5个不同的水果中选择3个的组合数是10种。

问题二：在一个包含4个红球和3个蓝球的袋子中，随机取出3个球，有多少种不同的取法？

这个问题可以通过组合公式来解决。我们需要计算从7个球中选择3个的组合数，即 C(7, 3)。计算如下：

C(7, 3) = 7! / [3! (7 3)!] = (7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) / [(3 × 2 × 1) (4 × 3 × 2 × 1)] = 35

所以，从4个红球和3个蓝球中随机取出3个球，共有35种不同的取法。

问题三：在一个班级中，有10名学生，需要从中选出5名学生代表参加比赛，有多少种不同的选法？

这个问题同样适用于组合公式。我们需要计算从10名学生中选择5名学生的组合数，即 C(10, 5)。计算如下：

C(10, 5) = 10! / [5! (10 5)!] = (10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) / [(5 × 4 × 3 × 2 × 1) (5 × 4 × 3 × 2 × 1)] = 252

因此，从10名学生中选出5名代表参加比赛，共有252种不同的选法。

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