为什么原矩阵和伴随矩阵的秩之和小于等于N

原矩阵和伴随矩阵的秩之和小于等于矩阵的阶数 (N) 的原因可以从矩阵的性质和秩的定义来理解。

我们定义矩阵的秩。一个矩阵的秩是其所有非零行（或列）的最大线性无关组的数量。对于一个 (N times N) 的方阵，其秩 (r) 最多为 (N)。

现在，我们考虑一个 (N times N) 的方阵 (A) 和它的伴随矩阵 (A)。伴随矩阵是由 (A) 的每个元素的代数余子式组成的转置矩阵。以下是几个关键点：

1. 秩与满秩矩阵：如果一个矩阵是满秩的，即其秩为 (N)，那么这个矩阵的行列式不为零。

2. 伴随矩阵的秩：对于任何 (N times N) 的方阵 (A)，其伴随矩阵 (A) 的秩 (r(A)) 总是小于或等于 (N)。实际上，(A) 的秩最多为 (N-1)。这是因为伴随矩阵的行（或列）通常不线性独立，尤其是当 (A) 不是满秩时。

3. 原矩阵和伴随矩阵的关系：对于非奇异矩阵（即行列式不为零的矩阵），原矩阵 (A) 和其伴随矩阵 (A) 满足 (A cdot A = AE)，其中 (E) 是单位矩阵，而 (A) 是 (A) 的行列式。这个性质说明了原矩阵和伴随矩阵的乘积是一个可逆矩阵。

现在，结合上述点，我们可以得出以下结论：

如果 (A) 是满秩的，那么 (A) 的秩为 (N-1)，因此 (A) 和 (A) 的秩之和为 (N)。

如果 (A) 不是满秩的，那么 (A) 的秩将小于 (N-1)，这导致 (A) 和 (A) 的秩之和小于 (N)。

总结来说，原矩阵和伴随矩阵的秩之和小于等于 (N) 是因为伴随矩阵的秩总是小于或等于 (N-1)，除非原矩阵是满秩的。因此，除非原矩阵满秩，否则它们的秩之和不会达到 (N)。

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