为什么极限存在要求左右导数相等

导数的定义基于极限，而极限的存在性要求左极限与右极限相等。因此，左右导数相等是导数存在的必要条件。如果一个函数在某点的左导数和右导数不相等，那么该点的导数是不存在的。理解这一点，我们需要回到极限的定义。当函数在某点的左极限等于右极限时，我们说该点的极限存在。

函数在定义域中一点可导需要一定的条件：只有左右导数存在且相等，并且在该点连续，才能证明该点可导。可导的函数一定连续；连续的函数不一定可导，不连续的函数一定不可导。

解答2：函数 g(x) = |x| 在 x = 0 处导数不存在，因为在该点导数的左右极限不相等。所以函数 g(x) 在 x = 0 处不可导。然而，在除了 x = 0 的所有实数上，g(x) 的导数恒为 1 或 -1。因此，函数 g(x) 在除了 x = 0 的所有实数上是可导的。

根据极限的定义，左极限右极限相等时极限才存在。左导数和右导数都存在是其可导的必要但不充分条件。函数在某点可导，则在该点的左导数和右导数都存在并相等。所以是必要条件。但是如果左导数和右导数存在，但不相等，仍然不可导。所以左导数和右导数都存在是其可导的必要但不充分条件。

探讨导数极限与函数连续性、可导性之间的关系，首要明白导数的定义。导数要求函数在某点的左右导数存在且相等，这是函数在该点可导的必要条件。若函数在某点的极限存在，且其左右极限存在且相等，那么函数在该点可导。以y=|x|在x=0处为例，y的极限为0。

按照导数的定义，我们分别从左侧和右侧趋向于\(x_0\)，从而得出左右导数的概念。左右导数分别是函数在该点左侧和右侧的瞬时变化率。只有当这两个导数值都存在且相等时，我们才能说函数在该点是可导的。类比于极限在某一点的连续性，函数的可导性也需要满足类似的条件。

为什么左极限存在,右导数不存在?

当x=1时，左右导数都等于2，但是左导数在函数有定义且连续，右倒数在函数无定义，所以左导数存在，右导数不存在。

左极限存在，是左导数存在的必要但不充分条件 右极限存在，是右导数存在的必要但不充分条件 左导数存在，则必然左连续，左连续成立，则必然有左极限。所以左极限存在，是左导数存在的必要条件。但是左极限存在，不一定左连续成立，那么也就不一定左导数存在。所以左极限存在，不是左导数存在的充分条件。

左导数的定义要求从左半侧无限接近该点时，函数值的极限存在，这在给定函数中满足条件，因此左导数存在。相反，右导数的定义要求从右半侧无限接近该点时，函数值的极限存在。然而，在此分段函数中，任意取一个点的右侧邻域，函数在此邻域内未被定义，因此无法计算右导数，故右导数不存在。

左极限存在并不一定左导数存在，但左导数存在则左极限一定存在。右同理 当左右极限都存在且相等时，极限存在并等于左右极限。当左右导数都存在且都相等并且函数连续时导数存在且等于左右导数。